Derivadas parciales

La notación para estas derivadas es la siguiente:

La primera se lee como derivada parcial de z respecto de y. Y la segunda como derivada parcial de z respecto de x. 

Esto quiere decir que si se tiene una función con estas dos variables y se quiere la derivada parcial respecto de x, las y serán como constantes, y después se deriva como si fuera una función de una variable. Lo mismo ocurre para el caso cuando se quiere derivar con respecto de y, las x serán constantes. 

A continuación se ejemplifica con los siguientes ejercicios. 

Estas derivadas parciales sirven para hallar la pendiente de rectas tangentes a un punto, así como para calcular la razón de cambio.

También existen las segundas derivadas parciales las cuales se entienden mejor en el siguiente cuadro

fxx se refiere a derivar primero respecto a x y luego esa derivada volverla a derivar de nuevo respecto de x. Lo mismo para fyy, sólo que respecto a y. 

Para fxy, primero se deriva respecto a x y después esa derivada se vuelve a derivar par ahora respecto de y. 

para fyx, primero se deriva respecto de y y después respecto a x

Funciones de varias variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado
de números reales (x,y) en el subconjunto del plano xy uno y sólo un número z en el conjunto
R de números reales.

El conjunto de pares ordenados (x,y) se llama dominio de la función y el conjunto de valores
correspondientes de z recibe el nombre de rango. Una función de dos variables suele escribirse z=f(x,y) y se lee “f de x, y.” Las variables x y y se denominan variables independientes
de la función y z es la variable dependiente.

Para poder determinar las curvas de nivel de una función de dos variables, de la forma z=f(x,y) se tiene que hacer f(x,y)=c 

Para ejemplificar esto se agrega un ejemplo del libro Cálculo. Trascendentes tempranas.

Superficies cuadráticas

Existen 6 superficies cuadráticas diferentes, de las cuales una ya se explicó con anterioridad. Las otras 5 se explican a continuación:

Hiperboloide de una hoja

Con centro en (Xo, Yo, Zo)

Tres variables al cuadrado, sumándose dos y la que este con el signo negativo es hacia el eje al que abre la figura. 

Hiperboloide de dos hojas

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

La distancia entre los dos paraboloides está dada por la el número que divide a la única variable que tiene signo positivo

Cono elíptico

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

La variable a la que se iguala la ecuación es la que determina hacia donde abre la figura. Todas se encuentran elevadas al cuadrado

Paraboloide 

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

Paraboloide hiperbólico 

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

Dos variables elevadas al cuadrado, de las cuales una resta a la otra igualadas a la variable faltante que no está elevada al cuadrada ni dividida entre algo

Superficies cuadráticas

A la intersección de una superficie con alguno de los planos coordenados se le conoce como traza, y a la intersección de una superficie con planos a una forma z=k, k=cte, (x=k) o (y=k), son llamadas curvas de nivel.

Ejemplo:

Graficar las trazas y curvas de nivel para                                  

Curvas de Nivel 

La figura resultante se conoce como "Elipsoide"

y cumple con esta forma fundamental:

Nótese que las tres variables están sumándose, elevadas al cuadrado e igualadas a 1. Las intersecciones con los ejes están dadas por a para las x; b para las y; c para las z. 

Cilindros

Si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano, entonces el conjunto

de todos los puntos (x, y, z) generado al mover una línea que recorra a C paralela a L se denomina

cilindro. La curva C recibe el nombre de directriz del cilindro.

Un cilindro se genera al mover una línea que recorre la curva paralela al eje de coordenadas que es representada por la variable que falta en su ecuación.

 Por ejemplo, si se tiene la parábola z=1-y^2 entonces su gráfica quedará como una parábola con vértice en (0,1) que abre hacia las y negativas. Y como x es la variable que falta, entonces la gráfica se extiende sobre el eje x.

Bibliografía

Larson, R., Edwards, B. H. (2010). Cálculo II de varias variables. (9a edición). México: McGrawHill.

Dennis, G. Z., Warren, S. W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. (4a edición). México: McGrawHill.

Planos

Para obtener la ecuación vectorial de un plano se necesita un punto que contenga el plano y un vector normal (perpendicular) al plano.

La ecuación de un plano del cual se dan las características anteriores, es:

Ejemplo:

Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1) y es normal al vector n=3i - 4j + 6k