Derivadas parciales

La notación para estas derivadas es la siguiente:

La primera se lee como derivada parcial de z respecto de y. Y la segunda como derivada parcial de z respecto de x. 

Esto quiere decir que si se tiene una función con estas dos variables y se quiere la derivada parcial respecto de x, las y serán como constantes, y después se deriva como si fuera una función de una variable. Lo mismo ocurre para el caso cuando se quiere derivar con respecto de y, las x serán constantes. 

A continuación se ejemplifica con los siguientes ejercicios. 

Estas derivadas parciales sirven para hallar la pendiente de rectas tangentes a un punto, así como para calcular la razón de cambio.

También existen las segundas derivadas parciales las cuales se entienden mejor en el siguiente cuadro

fxx se refiere a derivar primero respecto a x y luego esa derivada volverla a derivar de nuevo respecto de x. Lo mismo para fyy, sólo que respecto a y. 

Para fxy, primero se deriva respecto a x y después esa derivada se vuelve a derivar par ahora respecto de y. 

para fyx, primero se deriva respecto de y y después respecto a x

Funciones de varias variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado
de números reales (x,y) en el subconjunto del plano xy uno y sólo un número z en el conjunto
R de números reales.

El conjunto de pares ordenados (x,y) se llama dominio de la función y el conjunto de valores
correspondientes de z recibe el nombre de rango. Una función de dos variables suele escribirse z=f(x,y) y se lee “f de x, y.” Las variables x y y se denominan variables independientes
de la función y z es la variable dependiente.

Para poder determinar las curvas de nivel de una función de dos variables, de la forma z=f(x,y) se tiene que hacer f(x,y)=c 

Para ejemplificar esto se agrega un ejemplo del libro Cálculo. Trascendentes tempranas.

Superficies cuadráticas

Existen 6 superficies cuadráticas diferentes, de las cuales una ya se explicó con anterioridad. Las otras 5 se explican a continuación:

Hiperboloide de una hoja

Con centro en (Xo, Yo, Zo)

Tres variables al cuadrado, sumándose dos y la que este con el signo negativo es hacia el eje al que abre la figura. 

Hiperboloide de dos hojas

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

La distancia entre los dos paraboloides está dada por la el número que divide a la única variable que tiene signo positivo

Cono elíptico

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

La variable a la que se iguala la ecuación es la que determina hacia donde abre la figura. Todas se encuentran elevadas al cuadrado

Paraboloide 

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

Paraboloide hiperbólico 

Con vértice en (Xo, Yo, Zo)

Dos variables elevadas al cuadrado, de las cuales una resta a la otra igualadas a la variable faltante que no está elevada al cuadrada ni dividida entre algo

Superficies cuadráticas

A la intersección de una superficie con alguno de los planos coordenados se le conoce como traza, y a la intersección de una superficie con planos a una forma z=k, k=cte, (x=k) o (y=k), son llamadas curvas de nivel.

Ejemplo:

Graficar las trazas y curvas de nivel para                                  

Curvas de Nivel 

La figura resultante se conoce como "Elipsoide"

y cumple con esta forma fundamental:

Nótese que las tres variables están sumándose, elevadas al cuadrado e igualadas a 1. Las intersecciones con los ejes están dadas por a para las x; b para las y; c para las z. 

Cilindros

Si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano, entonces el conjunto

de todos los puntos (x, y, z) generado al mover una línea que recorra a C paralela a L se denomina

cilindro. La curva C recibe el nombre de directriz del cilindro.

Un cilindro se genera al mover una línea que recorre la curva paralela al eje de coordenadas que es representada por la variable que falta en su ecuación.

 Por ejemplo, si se tiene la parábola z=1-y^2 entonces su gráfica quedará como una parábola con vértice en (0,1) que abre hacia las y negativas. Y como x es la variable que falta, entonces la gráfica se extiende sobre el eje x.

Bibliografía

Larson, R., Edwards, B. H. (2010). Cálculo II de varias variables. (9a edición). México: McGrawHill.

Dennis, G. Z., Warren, S. W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. (4a edición). México: McGrawHill.

Planos

Para obtener la ecuación vectorial de un plano se necesita un punto que contenga el plano y un vector normal (perpendicular) al plano.

La ecuación de un plano del cual se dan las características anteriores, es:

Ejemplo:

Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1) y es normal al vector n=3i - 4j + 6k 

Rectas y Planos

Para especificar de manera única la ecuación de una recta en el espacio tridimensional se requiere de un punto sobre dicha recta y de una dirección paralela a la misma descrita por otro vector.


ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Este tipo de ecuaciones permite representar una o varias curvas, superficies o rectas, en el plano o bien, en el espacio tridimensional, mediante valores arbitrarios o constantes (parámetros).

Las ecuaciones paramétricas de recta son:

Dónde Xo Yo y Zo son las componentes de un punto que contiene a la recta. a es la componente i,j o k del vector al que es perpendicular la recta.

Ejemplo:

Proporcionar un conjunto de ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto P(1,2,-1) y que es paralela al vector v=2i - 4j + 3k

Para encontrar las intersecciones de dos rectas se igualan de las ecuaciones paramétricas, componente a componente. Y el ángulo es igual al ángulo que hay entre sus vectores directores. 

3D

Un vector en 3D es de la forma:

Y para su magnitud:

Para normalizar (hacer unitario) un vector en 3D se tiene que dividir el vector entre su magnitud. 

Además del producto punto (que se calcula de la misma forma que en 2D) existe otra operación entre vectores en 3D que se llama producto cruz, esta operación da como resultado un vector que es perpendicular a los vectores en cuestión. 

Un producto cruz se resuelve con determinantes, para ilustrar esto se presenta la forma en que se realiza el producto cruz:

Para hacer el producto cruz de dos vectores, en este caso U y V: 

Para calcular el ángulo que hay entre dos vectores se debe realizar el mismo procedimiento que en 2D: 

Vectores

Un vector se puede definir como una magnitud física con dirección y sentido.
Los vectores tienen gran aplicación en el área de física ya que se utilizan para encontrar fuerzas y saber como se distribuyen y así poder diseñar desde pequeñas piezas a grandes edificios.

Para construir un vector dados dos puntos, al punto final se le tiene que restar el punto inicial. Es importante determinar cual es el punto final e inicial, sino los signos ocasionarían un vector con otra dirección alterando los cálculos al momento de aplicarlos.

Un vector tiene componentes i (x) y j(y)
Un vector unitario es un vector igual al  dado (misma dirección y sentido) pero de magnitud 1. Es importante saber que todo vector unitario puede ser escrito en términos de sen y cos del ángulo que forma dicho vector con el eje positivo x. Para lo anterior se debe realizar lo siguiente:

Recordando que la magnitud de un vector |v| se calcula elevando el coeficiente de i al cuadrado y sumarle el coeficiente de j elevado al cuadrado, y al resultado de lo anterior se le saca raíz cuadrada.

Dos vectores se pueden sumar o restar, sumando o restando cada componente i con el componente i del otro vector, al igual que con las componentes de j. El resultado de las operaciones anteriores darán como resultado otro vector.

(http://www.vitutor.com/geo/vec/b_2.html)

PRODUCTO PUNTO

El producto punto es otra operación que se puede hacer con los vectores, es parecido a la multiplicación pero se tienen que tener ciertos puntos en contra. Para realizar el producto punto se tienen que multiplicar cada componente de los vectores, las i con las i y las j con las j. Y después se suman los resultados de las multiplicaciones.

________________________________________________________________________________

Para calcular el ángulo entre dos vectores se tiene que hacer lo siguiente:

Si el resultado de esto es cero, entonces los vectores son ortogonales (perpendiculares)

Curvas polares

Existen cuatro principales curvas polares:

• Caracoles 
• Curvas rosas
• Círculos
• Lemniscatas

Las cuales son fácilmente definidas y representadas gráficamente en la siguiente imagen tomada del Larson

Larson, R., Edwards, B. H. (2010). Cálculo II de varias variables. (9°edición). México: McGrawHill.

Este tipo de curvas son útiles para la construcción principalmente, aunque también tienen aplicación en la fabricación de ciertas piezas o herramientas, así como componentes de piezas de mayor tamaño. En algunos ámbitos se usan como decoración también.

Coordenadas Polares

A diferencia de un punto en coordenadas cartesianas, un punto en coordenadas cartesianas es de la siguiente forma:

Dónde el ángulo se mide desde 0 hacia nPi en sentido opuesto de las manecillas del reloj.

*Nota: El signo de r es importante, ya que si es positivo se grafica girando teta grados y marcando una línea de magnitud r pero si r es negativa, entonces se gira teta grados pero la línea resultante se cambia de dirección. 

Es importante saber cambiar de coordenadas cartesianas a polares y viceversa ya que hay funciones que no se pueden expresar en coordenadas cartesianas y también es útil para la parte de vectores, por lo cual se explica debajo el procedimiento a seguir.

DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS

Los puntos en coordenadas polares son (Xo,Yo)

DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES

Lo primero es para calcular r, y lo de abajo de eso, es para calcular teta

Estas conversiones son necesarias para cambiar una ecuación cartesiana a una polar. Si en la ecuación cartesiana aparece la variable x y y entonces dichas variables se transforman con la primera conversión dada en este tema. Y la ecuación final tiene que quedar de la forma "r=", dicho en otras palabras, r es la "función".

Repaso de funciones cónicas

ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA

La ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio "r" es la siguiente:

Y si el centro no se encuentra en el origen, sino en el punto C(a,b) la ecuación sería:

ECUACIÓN DE UNA ELIPSE

La ecuación de una elipse con centro en el origen es la siguiente:

Y si el centro no se encuentra en el origen, sino en el punto (Xo,Yo), la ecuación sería:

Para graficar una elipse se localiza el centro en el plano, luego se mueve b unidades hacia las y positivas y b unidades hacia las y negativas, después a unidades hacia las x positivas y a unidades hacia las x negativas. 

*Nota: Para diferenciar una elipse de otra función cónica, es importante notar que tanto la x como la y están elevadas al cuadrado, están divididas por un número, hay un signo + entre ambas y la ecuación está igualada a 1.

ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA

La ecuación de una hipérbola con centro en el origen es la siguiente:

Si el centro no se encuentra en el origen, sino en el punto (Xo,Yo) la ecuación es la siguiente:

Para graficar una hipérbola se tienen que dibujar asíntotas, para esto se marcan líneas que hagan un rectángulo, para hacer dicho rectángulo se desplaza b unidades hacia las y positivas y b unidades hacia las y negativas, se marca una línea (de preferencia punteada) paralela al eje x en ambos puntos (de distancia b respecto al centro). Luego se desplaza a unidades hacia las x positivas como hacia las negativas, de igual manera se puntean líneas pero para esta vez paralelas al eje y. Después se dibujan diagonales que pasen por los vértices del rectángulo formado, para que estas a su vez formen una X la cual representará las asíntotas de la hipérbola, luego sobre los puntos a tanto el positivo como el negativo, se dibujan parábolas que abren hacia infinito y menos infinito. 

*Nota: si la x en la ecuación tiene signo negativo se hará lo que se hizo para las y en la explicación antes dada, y para las y lo que se explicó para las x.

**Consejo: Para diferenciar a la hipérbola de otra cónica, solo una variable, ya sea la x o la y, debe tener un signo menos y la ecuación está igualada a 1.